Pizzaseminar in Mathematik

Thema zwischen WS12/SS13: Einführung in die Kategorientheorie

Die Sprache der Kategorien hat sich als Lingua franca in diversen Gebieten wie

• der algebraischen Geometrie,
• der algebraischen Topologie,
• der algebraischen Analysis (D-Moduln, Riemann–Hilbert-Korrespondenz, …),
• der theoretischen Informatik,
• der theoretischen Physik,
• der Differentialtopologie,
• der Logik,
• der Mengenlehre

und vielen weiteren Gebieten etabliert; Kategorientheorie ist dabei entweder nützlich oder unabdingbar. Um Kategorientheorie zu verstehen, sind keine besonderen Vorkenntnisse nötig. Nicht von den Fachbegriffen abschrecken lassen!

Schlechtes Beispiel. Die Addition von Zahlen, die Multiplikation von Zahlen, das Bilden des größten gemeinsamen Teilers, das Bilden des kleinsten gemeinsamen Vielfaches sowie das Bilden des kartesischen Produkts von Mengen oder Vektorräumen sind jeweils (nahezu) kommutativ. Mit Kategorientheorie kann man einen einzelnen, gemeinsamen, tieferen Grund für diese Phänomene ausmachen (und in einem Aufwasch für diese und noch weitere Fälle beweisen).

Was hat man davon? Man erlangt Einblicke in verschiedene Teilgebiete der Mathematik, kann durch kategorielle Analogien Zusammenhänge besser verstehen und hat das Rüstzeug, um sich selbstständig mit Mathematik zu beschäftigen, die kategorielle Sprache verwendet. Außerdem kann man für offizielle Seminare das Halten von Vorträgen üben. Dagegen sollte man nicht mit anrechenbaren Leistungspunkten rechnen (völlig ausgeschlossen ist das aber nicht).

Für wen ist das Seminar? Zum einen für Interessierte ohne jegliche Vorerfahrung in Kategorientheorie, zum anderen für Leute, die sich schon mit Kategorientheorie beschäftigt haben und ihr Wissen jetzt vertiefen wollen (oder schlichtweg ihren Senf dazu abgeben wollen).

Vortragsplan

1	27.2.	Ingo Blechschmidt	Was sind und was sollen Kategorien?	1. Übungsblatt (Lösung)
2	6.3.	Matthias Hutzler	Produkte und Koprodukte	2. Übungsblatt (Lösung)
3	13.3.	Felicitas Hörmann	Funktoren	3. Übungsblatt (Lösung)
4	20.3.	Tim Baumann	Natürliche Transformationen	4. Übungsblatt (Lösung)
5	3.4.	Kathrin Gimmi	Limiten und Kolimiten	5. Übungsblatt (Lösung)
6	3.4.	Justin Gassner	Das Yoneda-Lemma	6. Übungsblatt
7	4.4.	Peter Uebele	Adjungierte Funktoren	7. Übungsblatt
8	4.4.	Simon Kapfer	Bonusthema: Kombinatorische Spezies	8. Übungsblatt (Sage-Lösung, Haskell-Lösung)
9	10.4.	Sven Prüfer	Bonusthema: Topologische Quantenfeldtheorien
?		Lukas Graf und Johannes Sedlmeir	Bonusthema: Logik, Mengenlehre oder Physik
?		Maximilian Huber	Bonusthema: Monaden & Co.
?		Ingo Blechschmidt	Bonusthema: Mengenlehre und andere Mathematikgrundlagensysteme
?		Saadettin Karaca	?
?		Carina Willbold	?

Natürlich können wir die Vortragsverteilung individuell passgenau abstimmen. Übungsblattabgabe in Büro 2031/L1. Es gibt ein in Entstehung befindliches Skript (pdf) und sein Quellcode (tex). Ergänzungen sind willkommen!

Skript zu adjungierten Funktoren und Spezies (wird noch ergänzt und dann in die Hauptdatei übernommen). Danke an Maximilian Huber!

Mögliche Bonusthemen

• Verbindung zu funktionalen Programmiersprachen wie Haskell und dem λ-Kalkül:

  Monaden • kartesisch abgeschlossene Kategorien • initiale und terminale Algebren zur Modellierung rekursiver Datentypen • Ableiten von und Löcher bohren in Datentypen • Theoreme für lau

• Verbindung zur algebraischen Geometrie und Differentialtopologie:

  Garben auf topologischen Räumen • simpliziale Mengen • rationale Homotopietheorie • topologische Räume ohne Punkte (Locales)

• Verbindung zur algebraischen Analysis und homologischen Algebra:

  abelsche Kategorien

• Verbindung zur Kombinatorik:

  Kombinatorische Spezies

• Verbindung zur Logik und Mengenlehre:

  Topoi mit ihrer internen logischen Sprache als alternative Mathematikuniversen • konstruktive Mathematik • Gödels Unvollständigkeitssatz

• Verbindung zur Physik:

  Ausgewählte Artikel der Reihe This Week's Finds von John Baez

• Hier könnte dein Thema stehen!

Literatur

• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George Strecker. Abstract and Concrete Categories, The Joy of Cats (pdf). Dover, 2009. In der Bibliothek vorrätig.

• Steve Awodey. Category Theory. Clarendon Press, 2006.

• Michael Barr, Charles Wells. Category Theory for Computing Science (pdf). Prentice Hall, 1990.

• Martin Brandenburg. Einführung in die Kategorientheorie. Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen. Springer, 2016.

• F. William Lawvere. Taking categories seriously (pdf). Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 8, 2005, Seiten 1–24.

• F. William Lawvere, Steve Schanuel. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (opac). Cambridge University Press, 1997. In der Bibliothek entliehen.

• Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (opac). Springer-Verlag, 1971. In der Bibliothek vorrätig.

• Sergei Gelfand, Yuri Manin. Methods of homological algebra (opac). Springer-Verlag, 1996. In der Bibliothek vorrätig. Obacht vor Tippfehlern!

• Emily Riehl. Category theory in context (pdf). Dover Publications, 2016.

• Tom Leinster. Category Theory (web), 2007.

• Jaap van Oosten. Basis Category Theory (pdf), 2002.

• Emily Riehl. A survey of categorical concepts (pdf; oder als cheatsheet). 2012.

• David Spivak. Category theory for scientists (web), 2013.

• The Catsters. Various topics in category theory (Videos auf YouTube). 2007–2011.

• John Baez. Categories, Quantization, and Much More (web), 2006.

• Jean-Pierre Marquis. Category Theory (web). The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (Hrsg.), 2010.