Mathematikmonster

Vortragsplan zwischen SS13 und WS13/14

Die zu einem klassisch-mechanischen System gehörige C*-Algebra ist kommutativ. Daher kann man ihr Gelfand-Spektrum betrachten; das ist ein topologischer Raum, der als Phasenraum für das untersuchte System fungiert. Die C*-Algebra zu einem quantenmechanischen System ist dagegen nichtkommutativ; daher besitzt sie kein Gelfand-Spektrum und die schöne Idee eines Phasenraums ist nicht haltbar. Man kann aber den umgebenden Topos wechseln und die Situation aus der Sicht eines speziell an die nichtkommutative Algebra zugeschnittenen alternativen Mathematikuniversums betrachten, dem Bohr-Topos. In dieser internen Sicht erscheint die Algebra kommutativ und besitzt somit wieder einen Phasenraum; in diesem (restriktiven) Sinn wird also Quantenmechanik bei interner Betrachtung zu klassischer Mechanik. Im Vortrag werden wir in einem groben und nicht-technischen Streifzug alle obigen Konzepte kennenlernen und auf dem Weg interessante Dinge wie mathematische Alternativuniversen und topologische Räume ohne Punkte mitnehmen. Wer nicht an physikalischen Anwendungen interessiert ist, kann daher trotzdem genug vom Vortrag mitnehmen, Voraussetzungen sind im Wesentlichen nur die Grundvorlesungen und nicht die vorherigen Pizzavorträge. Da der mathematische Kerninhalt trivial ist, wird der Vortrag vor allem von lebhaften Diskussionen leben. Zöpfe sind aufgeschnittene Knoten, sie bestehen also aus n Strängen, welche n Anfangs- und Endpunkte verbinden. Wie bei den Knoten gibt es einen Isotopiebegriff. Der Vorteil ist, dass man Zöpfe verknüpfen kann und dadurch eine Gruppenstruktur erhält. Diese zusätzliche algebraische Struktur erlaubt wiederum andere Techniken aus der Trickkiste der Algebra zu nutzen. So lassen sich zum Beispiel viele Knoteninvarianten durch geeignete Darstellungen der Zopfgruppe gewinnen. Außerdem kann man die Verzopfung auch in Kategorien betrachten. Im Vortrag werden zunächst geometrische Zöpfe und Zopfdiagramme definiert. Wir werden dann feststellen, dass die dadurch definierten Zopfgruppen isomorph zu den Artin-Zopfgruppen sind, für welche eine konkrete Präsentation mittels Erzeugern und Relationen existiert. Nach einer kurzen gruppentheoretischen Untersuchung wollen wir noch den Satz von Alexander verstehen, welcher besagt, dass jede Verschlingung isotop zu einem geschlossenen Zopf ist. Da alles sehr anschaulich ist, werden weder tiefere Vorkenntnisse aus der Mathematik noch Wissen aus den Knotentheorievorträgen benötigt. Alle Interessierten sind also herzlich eingeladen.

1 13.8. Ingo Blechschmidt Konstruktive Mathematik I
Was ist konstruktive Mathematik, Beispiele, Nutzen
 1. Übungsblatt (Lösung)
2 21.8. Ingo Blechschmidt Konstruktive Mathematik II
Verbindung zu klassischer Logik (Doppelnegationsübersetzung) und zu theoretischer Informatik (Curry-Howard-Korrespondenz)
 2. Übungsblatt
3 21.8. Tim Baumann, Carina Willbold Singulärwertzerlegung und Hauptkomponentenanalyse Bilderrätsel
4 4.9. Ingo Blechschmidt Konstruktive Mathematik III
Hilberts Programm, konstruktiver Gehalt klassischer Beweise, ein mathematischer Zaubertrick
 3. Übungsblatt
5 4.9. Stefan Knoblauch Knotentheorie I
Einführung: Homotopie, Fundamentalgruppe, Definition von Knoten und Verschlingungen, Homotopien von Knoten, Knotendiagramme und Projektionen, Orientierungen
 1. Übungsblatt  (Lösung)
6 18.9. Johannes Sedlmeir Crashkurs Quantenmechanik I
Modellierung quantenmechanischer Systeme als nichtkommutative C*-Algebren und das Unmöglichkeitstheorem von Kochen und Specker
 Mitschrift, 4. Übungsblatt
7 18.9. Peter Uebele Knotentheorie II
Einfache Knoteninvarianten und -konstruktionen
 2. Übungsblatt
8 2.10. Johannes Sedlmeir Crashkurs Quantenmechanik II
Modellierung quantenmechanischer Systeme als nichtkommutative C*-Algebren und das Unmöglichkeitstheorem von Kochen und Specker
9 2.10. Kathrin Gimmi Knotentheorie III
Knotengruppen und der Wirtinger-Algorithmus
10 18.10. Ingo Blechschmidt Der Bohr-Topos: konstruktive Mathematik und Quantenmechanik 5. Übungsblatt
11 18.10. Sven Prüfer Knotentheorie IV
Zöpfe
12 unter dem Semester Tim Baumann Der Vier-Farben-Satz
Ingo Blechschmidt, Lukas Graf Modellierung natürlicher Sprache mit kategoriellem Schnickschnack
Riemannsche Vermutung

Skript zu den Vorträgen zu konstruktiver Mathematik und zur Knotentheorie (Mitschrift von Carina Willbold und Kathrin Gimmi; siehe auch TeX-Version des ersten Vortrags)

Organisation: Ingo Blechschmidt, Büro 2031/L1. Fragen, Anmerkungen und Vorschläge jederzeit willkommen! • Durstig? Kaffeeseminar!

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